Skip to main content

Persamaan Trigonometri Dengan Bentuk a cos x + b sin x dan lainnya

Persamaan trigonometri sering dijumpai di bagian Matematika IPA SBMPTN. Terkadang, soal tidak hanya menanyakan solusi dari sebuah persamaan, tapi juga dapat menanyakan maksimum dan minimum dari suatu fungsi trigonometri \(a cos x+ b sin x\)
Persamaan trigonometri \(a cos x + b sin x\) dapat diubah ke bentuk sederhana \(R cos (x- \alpha)\) dengan
$$R=\sqrt{a^2+b^2}\\ \alpha= arc tan (\frac{b}{a})$$

Pembahasan


Misalkan segitiga siku-siku dengan rusuk tegak b, rusuk bawah a, dan hipotenusa R

Dari rumus Phytagoras kita tahu bahwa $$a^2+b^2=R^2$$
Dan, dari gambar kita tahu bahwa $$a = R\ \cos \alpha$$ dan $$b = R\ \sin \alpha$$
Maka dapat kita tulis
$$a\ \cos x + b\ \sin x = (R\ \cos \alpha) \cos x + (R\ \sin \alpha) sin x \\=R\ \cos (x-\alpha)$$
(Ingat bahwa \(\cos (x-\alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha\))

Untuk operasi pengurangan, atau a dan b nya dipindah, dapat dicari dengan cara yang sama.

Contoh Soal


1. Cari solusi dari persamaan \(\sqrt{3}cos x - sin x = 1\) dengan pembatas \(0 ≤ x < 360^{\circ}\)!

Jawab:

Akan diubah dulu ke bentuk \(R \cos (x-\alpha)\) untuk memudahkan.
Kita tahu bahwa \(R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2} = 2\) dan \(\alpha = \tan^{-1} \frac{-1}{\sqrt{3}}\ = 330^{\circ}\)

$$\sqrt{3}\cos x - \sin x = 1\\2\cos(x-330^{\circ}) = 1\\\cos(x-330^{\circ}) = \frac{1}{2}$$

Kita tahu bahwa yang mempunyai nilai cosinus sudutnya \(\frac{1}{2}\) adalah \(60^{\circ}\)
Jadi, kita akan membagi dua kemungkinan
  • $$x-330^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ} * n$$
    • Karena nilai x dibatasi dari nol sampai 360 derajat, maka nilai yang memenuhi adalah \(30^{\circ}\)
  • $$x-330^{\circ} = -60^{\circ} + 360^{\circ} * n$$
    • Karena nilai x dibatasi dari nol sampai 360 derajat, maka nilai yang memenuhi adalah \(270^{\circ}\)
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah \(30^{\circ}\) dan \(270^{\circ}\)

2. Tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi \(f(x)=3 \cos x + 4 \sin x\) adalah...

Jawab:

Akan diubah dulu ke bentuk \(R \cos (x-\alpha)\) untuk memudahkan.
Kita tahu bahwa \(R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5\) dan \(\alpha = \tan^{-1} \frac{4}{3} = 53.13^{\circ}\)
$$f(x) = 5 \cos (x-53.13^{\circ})$$
Karena fungsi cos mempunyai rentang dari 1 hingga -1,
Maka kita tahu bahwa nilai maksimum f(x) adalah 5, dan nilai minimumnya adalah -5.

Trik Cepat


$$A \sin x + B \cos x = R \sin (x+\alpha)$$
$$A \sin x - B \cos x = R \sin (x-\alpha)$$
$$A \cos x + B \sin x = R \cos (x+\alpha)$$
$$A \cos x - B \sin x = R \cos (x+\alpha)$$
dengan
$$R=\sqrt{a^2+b^2}\\  \alpha= arc tan (\frac{b}{a})$$

Dengan mengetahui konsep penyederhanaan bentuk ini, soal yang menyangkut persamaan atau fungsi trigonometri jadi lebih cepat dikerjakan.
Semoga bermanfaat untuk persiapan matematika ipa SBMPTN!
Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Barisan dan Deret Aritmatika dengan Tingkat Dua atau Lebih

Sering dijumpai soal barisan aritmatika bertingkat pada tes SBMPTN, sehinggga kali ini CermatSBMPTN!™ akan mengupas tuntas materi ini. Telah kita ketahui bahwa barisan aritmatika biasa (derajat satu, atau punya nilai beda yang tetap) dapat dirumuskan suku ke-n nya sebagai berikut. $$U_n = a + (n-1) b$$ Barisan aritmatika tersebut dinamakan barisan orde satu , karena rumus suku ke-n nya berupa polinomial derajat satu . Lantas, bagaimana rumus suku ke-n jika barisan punya nilai beda yang berubah linear atau bertingkat/orde dua? Mudah saja , asal mengerti konsep barisan yang dijelaskan pada artikel ini. Misalkan, barisan $$U = 2, 6, 12, 20, 30$$ Dari suku ke-1 ke suku ke-2 punya nilai beda sebesar 6 - 2 = 4 Dari suku ke-2 ke suku ke-3 punya nilai beda sebesar 12 - 6 = 6 Dari suku ke-3 ke suku ke-4 punya nilai beda sebesar 20 - 12 = 8 Kita lihat bahwa nilai beda tingkat pertama nya berubah-ubah (dari 4 jadi 6 lalu 8). Namun, perubahan nilai bedanya konstan, yaitu 2. ...
Post a Comment
Read more

Trik Rumus Cepat Gerak Parabola Pada Soal Fisika SBMPTN

Sering kali dijumpai kasus gerak parabola pada soal tes Fisika SBMPTN. Dan, soal-soal tersebut biasanya memerlukaan penalaran lebih lanjut, dan tidak bisa menggunakan rumus langsung biasa, seperti \(x=\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\) dan \(y=\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}\) Dari kedua rumus tersebut, dapat dikembangkan rumus-rumus selanjutnya, seperti Perbandingan jarak horizontal x maksimum  dengan perbandingan jarak horizontal y maksimum $$\frac{x}{y}  = \frac{\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}}{\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}} = \frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin^2 \alpha} \\ = \frac{2 \sin 2\alpha}{\sin^2\alpha} \\ = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{sin^2\alpha} \\ = \frac{4 \cos \alpha}{\sin \alpha}$$ $$\frac{x}{y}  = \frac{4}{\tan \alpha}$$ Hasil yang didapat logis, karena jarak yang ditempuh secara horizontal jauh lebih besar dari jarak vertikal (karena gerak horizontal merupakan GLB, sedangkan gerak vertikal merupakan GLBB diperlambat gravitasi). Sebagai pe...
Post a Comment
Read more

Penurunan Rumus Gerak Parabola

Susah mengingat rumus gerak parabola? Mari kita turunkan saja dari pers. GLBB dan GLB.. Mudah lho! Kita akan mencari waktu puncak, waktu di udara, jarak horizontal dan ketinggian maksimum dari bola yang dilempar.. (misalkan benda yang dilempar adalah bola) Kita tahu bahwa ketinggian maksimum atau puncak dicapai ketika bola tidak punya kecepatan ke atas lagi (intinya bolanya gak bisa naik lagi hahaha) Saat di puncak, maka kecepatan vertikalnya adalah nol $$v_{ty} = v_{0y} - g t_p$$ $$ 0 = v_{0y} - g t_p$$ $$ t_p = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$$ dengan \(t_p\) adalah waktu yang diperlukan bola untuk mencapai puncak. Maka waktu bola di udaranya adalah dua kali waktu bola mencapai puncak (waktu bola di udara = waktu bola naik dan turun), yaitu \(t_{udara} = 2 t_p = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\) Untuk ketinggian maksimum (ketinggian puncak), kita perlu mencermati bahwa kecepatan vertikal saat puncak adalah nol, sehingga $$v_{ty}^2=v_{0y}^2 - 2 g y_{max}$$ $$0=v_{0y}^2 - 2 g y...
Post a Comment
Read more