Persamaan Trigonometri Dengan Bentuk a cos x + b sin x dan lainnya

Persamaan trigonometri sering dijumpai di bagian Matematika IPA SBMPTN. Terkadang, soal tidak hanya menanyakan solusi dari sebuah persamaan, tapi juga dapat menanyakan maksimum dan minimum dari suatu fungsi trigonometri $a cos x+ b sin x$
Persamaan trigonometri $a cos x + b sin x$ dapat diubah ke bentuk sederhana $R cos (x- \alpha)$ dengan
$$R=\sqrt{a^2+b^2}\\ \alpha= arc tan (\frac{b}{a})$$

Pembahasan

Misalkan segitiga siku-siku dengan rusuk tegak b, rusuk bawah a, dan hipotenusa R

Dari rumus Phytagoras kita tahu bahwa $$a^2+b^2=R^2$$

Dan, dari gambar kita tahu bahwa $$a = R\ \cos \alpha$$ dan $$b = R\ \sin \alpha$$

Maka dapat kita tulis

$$a\ \cos x + b\ \sin x = (R\ \cos \alpha) \cos x + (R\ \sin \alpha) sin x \\=R\ \cos (x-\alpha)$$

(Ingat bahwa $\cos (x-\alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha$)

Untuk operasi pengurangan, atau a dan b nya dipindah, dapat dicari dengan cara yang sama.

Contoh Soal

1. Cari solusi dari persamaan $\sqrt{3}cos x - sin x = 1$ dengan pembatas $0 ≤ x < 360^{\circ}$!

Jawab:

Akan diubah dulu ke bentuk $R \cos (x-\alpha)$ untuk memudahkan.

Kita tahu bahwa $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2} = 2$ dan $\alpha = \tan^{-1} \frac{-1}{\sqrt{3}}\ = 330^{\circ}$

$$\sqrt{3}\cos x - \sin x = 1\\2\cos(x-330^{\circ}) = 1\\\cos(x-330^{\circ}) = \frac{1}{2}$$

Kita tahu bahwa yang mempunyai nilai cosinus sudutnya $\frac{1}{2}$ adalah $60^{\circ}$

Jadi, kita akan membagi dua kemungkinan

• $$x-330^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ} * n$$
• Karena nilai x dibatasi dari nol sampai 360 derajat, maka nilai yang memenuhi adalah $30^{\circ}$
• $$x-330^{\circ} = -60^{\circ} + 360^{\circ} * n$$
• Karena nilai x dibatasi dari nol sampai 360 derajat, maka nilai yang memenuhi adalah $270^{\circ}$

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah $30^{\circ}$ dan $270^{\circ}$

2. Tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi $f(x)=3 \cos x + 4 \sin x$ adalah...

Jawab:

Akan diubah dulu ke bentuk $R \cos (x-\alpha)$ untuk memudahkan.

Kita tahu bahwa $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ dan $\alpha = \tan^{-1} \frac{4}{3} = 53.13^{\circ}$

$$f(x) = 5 \cos (x-53.13^{\circ})$$
Karena fungsi cos mempunyai rentang dari 1 hingga -1,
Maka kita tahu bahwa nilai maksimum f(x) adalah 5, dan nilai minimumnya adalah -5.

Trik Cepat

$$A \sin x + B \cos x = R \sin (x+\alpha)$$

$$A \sin x - B \cos x = R \sin (x-\alpha)$$

$$A \cos x + B \sin x = R \cos (x+\alpha)$$

$$A \cos x - B \sin x = R \cos (x+\alpha)$$

dengan

$$R=\sqrt{a^2+b^2}\\  \alpha= arc tan (\frac{b}{a})$$

Dengan mengetahui konsep penyederhanaan bentuk ini, soal yang menyangkut persamaan atau fungsi trigonometri jadi lebih cepat dikerjakan.

Semoga bermanfaat untuk persiapan matematika ipa SBMPTN!