Skip to main content

Barisan dan Deret Aritmatika dengan Tingkat Dua atau Lebih

Sering dijumpai soal barisan aritmatika bertingkat pada tes SBMPTN, sehinggga kali ini CermatSBMPTN!™ akan mengupas tuntas materi ini.




Telah kita ketahui bahwa barisan aritmatika biasa (derajat satu, atau punya nilai beda yang tetap) dapat dirumuskan suku ke-n nya sebagai berikut.
$$U_n = a + (n-1) b$$
Barisan aritmatika tersebut dinamakan barisan orde satu, karena rumus suku ke-n nya berupa polinomial derajat satu.

Lantas, bagaimana rumus suku ke-n jika barisan punya nilai beda yang berubah linear atau bertingkat/orde dua? Mudah saja, asal mengerti konsep barisan yang dijelaskan pada artikel ini.

Misalkan, barisan $$U = 2, 6, 12, 20, 30$$
Dari suku ke-1 ke suku ke-2 punya nilai beda sebesar 6 - 2 = 4
Dari suku ke-2 ke suku ke-3 punya nilai beda sebesar 12 - 6 = 6
Dari suku ke-3 ke suku ke-4 punya nilai beda sebesar 20 - 12 = 8

Kita lihat bahwa nilai beda tingkat pertama nya berubah-ubah (dari 4 jadi 6 lalu 8).
Namun, perubahan nilai bedanya konstan, yaitu 2.


Karena barisan itu punya 2 tingkat nilai beda, maka rumus suku ke-N nya merupakan polinomial orde 2 atau persamaan kuadrat
$$U_n = an^2 + bn + c$$
Hal ini dapat dilihat karena polinomial derajat dua dapat diturunkan dua kali, maka secara intuitif dapat kita simpulkan bahwa rumus suku ke-N nya berderajat dua.
Sehingga, ketiga barisan (barisan Un, barisan beda tingkat 1, dan barisan beda tingkat 2) dapat dirumuskan sebagai
  • Barisan awal (\(U_n\)) = \(an^2+bn+c\)
    • Dalam contoh ini, yaitu barisan: 2, 6, 12, 20, 30
  • Barisan Beda tingkat 1 (\(B_n\)) = \((2n+1)a+ b\)
    • Hal ini didapat dari $$B_n = U_{n+1}-U_n \\= a(n+1)^2+b(n+1)+c - (an^2 + bn + c) \\= an^2 + 2an + a + bn + b + c - an^2 - bn -c \\=2an +a+b \\= (2n+1)a+b$$
    • Dalam contoh ini pada barisan nilai beda tingkat 1: 4, 6, 8, 10
  • Barisan Beda tingkat 2 (\(B'_n\))= \(2a\)
    • Hal ini didapat dari $$B'_n=B_{n+1}-B_n \\=a(2(n+1)+1)+b - (a (2n+1) + b) \\=(2n+3)a+b-((2n+1)a+b)\\=2a$$
    • Dalam contoh ini pada barisan nilai beda tingkat 2, yaitu bernilai selalu 2 

Dengan logika di atas, maka dapat ditentukan nilai a, b, dan c pada \(U_n=an^2+bn+c\)

Berdasarkan rumus barisan beda tingkat dua, maka

$$2a = 2\\a = 1$$

Lalu, kita tahu bahwa rumus suku pada barisan nilai beda tingkat 1 (\(B_n\) ) = \((2n+1)a+b\) . Agar lebih mudah, mari kita tinjau suku pertamanya saja yaitu 4 (\(B_1\)=4) .
Untuk suku pertama (n = 1) pada barisan beda tingkat 1, yaitu 4, maka
$$(2(1)+1)(1)+b = B_n \\ 3+b = 4 \\ b = 1$$

Setelah mendapat nilai a dan b, kita akan mencari nilai c dengan meninjau suku pertama (\(n=1\)) pada barisan awal (\(U_1\) = 2)
$$an^2+bn+c=U_n\\(1)(1)^2+(1)(1)+c = 2\\c=0$$

Maka, rumus suku ke-n untuk pola barisan tersebut adalah
$$U_n = an^2+bn+c = (1)n^2+(1)n+(0) = n^2+n$$

Lalu, mari kita cek apakah benar rumus suku ke-n dengan mencocokkannya dengan pola yang diberikan
Untuk suku ke-satu, $$U_1 = 1^2+1 = 2$$
Untuk suku ke-dua, $$U_2 = 2^2+2 = 6$$
Untuk suku ke-tiga, $$U_3 = 3^2+3 = 12$$
Untuk suku ke-empat, $$U_4 = 4^2+4 = 20$$
Untuk suku ke-lima, $$U_5 = 5^2+5 = 30$$
dst...
Kita dapat lihat bahwa rumus ini benar, karena cocok dengan pola barisan: 2, 6, 12, 20, 30, ...

Trik Cepat


Kita telah tahu bahwa ketiga tingkatan dapat dirumuskan \(an^2+bn+c\), \((2n+1)a+b\), dan \(2a\)
Dengan hanya meninjau pada suku pertama (\(n=1\)) maka dapat dirumuskan
$$B'_1=2a\\B_1=3a+b\\U_1=a+b+c\\$$

Contoh Soal


Suatu barisan aritmatika bertingkat, Un, memiliki pola 10, 21, 38, 61, ... Tentukan suku ke-10!

Maka,
$$2a=6 \Leftrightarrow a=3\\ 3(3)+b = 11 \Leftrightarrow  b=2\\ 3+2+c=10 \Leftrightarrow c=5$$
Maka$$U_n = 3n^2+2n+5\$$
Sehingga $$U_10 = 3(10)^2+2(10)+5=325$$

Derajat/Tingkat lebih dari dua


Lalu, bagaimana dengan barisan tingkat tiga atau lebih?
Sama saja, hanya saja suku ke-n barisan tingkat tiga dirumuskan sebagai polinomial derajat tiga (\(ax^3+bx^2+cx+d\)), barisan tingkat empat dirumuskan sebagai polinomial derajat empat (\(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)), barisan tingkat lima dirumuskan sebagai polinomial tingkat lima (\(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f\)), dst...

Cara pengerjaannya juga sama, yaitu cari rumus beda tingkat satu, tingkat dua, dst dengan mengurangkan suku n+1 barisan atas dengan suku n barisan atas, atau dapat dikatakan selisih kedua suku pada barisan atas.
Setelah mendapat semua perumusan, tinjau saja suku pertamanya (\(n=1\)) untuk mempermudah perhitungan, lalu cari semua koefisien dan konstanta fungsinya.


Setelah mengetahui trik dan konsep ini, mengerjakan soal barisan menjadi mudah, bukan?
Yuk selalu cermati pengerjaan soal barisan pada matematika dasar SBMPTN!
Jawab cepat, isi tepat, itulah cermat!

Comments

Popular posts from this blog

Trik Rumus Cepat Gerak Parabola Pada Soal Fisika SBMPTN

Sering kali dijumpai kasus gerak parabola pada soal tes Fisika SBMPTN. Dan, soal-soal tersebut biasanya memerlukaan penalaran lebih lanjut, dan tidak bisa menggunakan rumus langsung biasa, seperti \(x=\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\) dan \(y=\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}\) Dari kedua rumus tersebut, dapat dikembangkan rumus-rumus selanjutnya, seperti Perbandingan jarak horizontal x maksimum  dengan perbandingan jarak horizontal y maksimum $$\frac{x}{y}  = \frac{\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}}{\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}} = \frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin^2 \alpha} \\ = \frac{2 \sin 2\alpha}{\sin^2\alpha} \\ = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{sin^2\alpha} \\ = \frac{4 \cos \alpha}{\sin \alpha}$$ $$\frac{x}{y}  = \frac{4}{\tan \alpha}$$ Hasil yang didapat logis, karena jarak yang ditempuh secara horizontal jauh lebih besar dari jarak vertikal (karena gerak horizontal merupakan GLB, sedangkan gerak vertikal merupakan GLBB diperlambat gravitasi). Sebagai pe...

Dinamika (Katrol dan Bidang Miring)

Soal dinamika khususnya katrol dan bidang miring adalah soal yang cukup mudah dikerjakan. Namun, biasanya memakan waktu lumayan bagi yang belum terbiasa dengan hukum Newton. CermatSBMPTN kali ini akan memberikan rumus-rumus jadi (trik cepat) untuk dinamika katrol dan bidang miring. Trik Cepat $$a = g (\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$$ Jika bidang licin, maka \(a = g \sin \theta\) $$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1+m_2}$$ Dengan \(m_2 > m_1\) $$a = g \frac{m_2 - \mu_k m_1}{m_1+m_2}$$ Dengan \(m_2 > m_1\) Jika bidang licin, maka \(a = g \frac{m_2}{m_1+m_2}\) Demikian cara mencari percepatan benda pada kasus dinamika yang sering dijumpai. Namun, patut kita tahu bahwa pemahaman Hukum Newton sangat berguna untuk pengerjaan soal-soal dinamika. Semoga bermanfaat.