Barisan dan Deret Aritmatika dengan Tingkat Dua atau Lebih

Sering dijumpai soal barisan aritmatika bertingkat pada tes SBMPTN, sehinggga kali ini CermatSBMPTN!™ akan mengupas tuntas materi ini.

Telah kita ketahui bahwa barisan aritmatika biasa (derajat satu, atau punya nilai beda yang tetap) dapat dirumuskan suku ke-n nya sebagai berikut.
$$U_n = a + (n-1) b$$
Barisan aritmatika tersebut dinamakan barisan orde satu, karena rumus suku ke-n nya berupa polinomial derajat satu.

Lantas, bagaimana rumus suku ke-n jika barisan punya nilai beda yang berubah linear atau bertingkat/orde dua? Mudah saja, asal mengerti konsep barisan yang dijelaskan pada artikel ini.

Misalkan, barisan $$U = 2, 6, 12, 20, 30$$
Dari suku ke-1 ke suku ke-2 punya nilai beda sebesar 6 - 2 = 4
Dari suku ke-2 ke suku ke-3 punya nilai beda sebesar 12 - 6 = 6
Dari suku ke-3 ke suku ke-4 punya nilai beda sebesar 20 - 12 = 8

Kita lihat bahwa nilai beda tingkat pertama nya berubah-ubah (dari 4 jadi 6 lalu 8).
Namun, perubahan nilai bedanya konstan, yaitu 2.

Karena barisan itu punya 2 tingkat nilai beda, maka rumus suku ke-N nya merupakan polinomial orde 2 atau persamaan kuadrat

$$U_n = an^2 + bn + c$$

Hal ini dapat dilihat karena polinomial derajat dua dapat diturunkan dua kali, maka secara intuitif dapat kita simpulkan bahwa rumus suku ke-N nya berderajat dua.

Sehingga, ketiga barisan (barisan Un, barisan beda tingkat 1, dan barisan beda tingkat 2) dapat dirumuskan sebagai

• Barisan awal ($U_n$) = $an^2+bn+c$
• Dalam contoh ini, yaitu barisan: 2, 6, 12, 20, 30

• Barisan Beda tingkat 1 ($B_n$) = $(2n+1)a+ b$
• Hal ini didapat dari $$B_n = U_{n+1}-U_n \\= a(n+1)^2+b(n+1)+c - (an^2 + bn + c) \\= an^2 + 2an + a + bn + b + c - an^2 - bn -c \\=2an +a+b \\= (2n+1)a+b$$
• Dalam contoh ini pada barisan nilai beda tingkat 1: 4, 6, 8, 10

• Barisan Beda tingkat 2 ($B'_n$)= $2a$
• Hal ini didapat dari $$B'_n=B_{n+1}-B_n \\=a(2(n+1)+1)+b - (a (2n+1) + b) \\=(2n+3)a+b-((2n+1)a+b)\\=2a$$
• Dalam contoh ini pada barisan nilai beda tingkat 2, yaitu bernilai selalu 2 

Dengan logika di atas, maka dapat ditentukan nilai a, b, dan c pada $U_n=an^2+bn+c$

Berdasarkan rumus barisan beda tingkat dua, maka

$$2a = 2\\a = 1$$

Lalu, kita tahu bahwa rumus suku pada barisan nilai beda tingkat 1 ($B_n$ ) = $(2n+1)a+b$ . Agar lebih mudah, mari kita tinjau suku pertamanya saja yaitu 4 ($B_1$=4) .

Untuk suku pertama (n = 1) pada barisan beda tingkat 1, yaitu 4, maka

$$(2(1)+1)(1)+b = B_n \\ 3+b = 4 \\ b = 1$$

Setelah mendapat nilai a dan b, kita akan mencari nilai c dengan meninjau suku pertama ($n=1$) pada barisan awal ($U_1$ = 2)

$$an^2+bn+c=U_n\\(1)(1)^2+(1)(1)+c = 2\\c=0$$

Maka, rumus suku ke-n untuk pola barisan tersebut adalah

$$U_n = an^2+bn+c = (1)n^2+(1)n+(0) = n^2+n$$

Lalu, mari kita cek apakah benar rumus suku ke-n dengan mencocokkannya dengan pola yang diberikan

Untuk suku ke-satu, $$U_1 = 1^2+1 = 2$$

Untuk suku ke-dua, $$U_2 = 2^2+2 = 6$$

Untuk suku ke-tiga, $$U_3 = 3^2+3 = 12$$

Untuk suku ke-empat, $$U_4 = 4^2+4 = 20$$

Untuk suku ke-lima, $$U_5 = 5^2+5 = 30$$

dst...

Kita dapat lihat bahwa rumus ini benar, karena cocok dengan pola barisan: 2, 6, 12, 20, 30, ...

Trik Cepat

Kita telah tahu bahwa ketiga tingkatan dapat dirumuskan $an^2+bn+c$, $(2n+1)a+b$, dan $2a$

Dengan hanya meninjau pada suku pertama ($n=1$) maka dapat dirumuskan

$$B'_1=2a\\B_1=3a+b\\U_1=a+b+c\\$$

Contoh Soal

Suatu barisan aritmatika bertingkat, Un, memiliki pola 10, 21, 38, 61, ... Tentukan suku ke-10!

Maka,

$$2a=6 \Leftrightarrow a=3\\ 3(3)+b = 11 \Leftrightarrow  b=2\\ 3+2+c=10 \Leftrightarrow c=5$$

Maka$$U_n = 3n^2+2n+5\$$

Sehingga $$U_10 = 3(10)^2+2(10)+5=325$$

Derajat/Tingkat lebih dari dua

Lalu, bagaimana dengan barisan tingkat tiga atau lebih?

Sama saja, hanya saja suku ke-n barisan tingkat tiga dirumuskan sebagai polinomial derajat tiga ($ax^3+bx^2+cx+d$), barisan tingkat empat dirumuskan sebagai polinomial derajat empat ($ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$), barisan tingkat lima dirumuskan sebagai polinomial tingkat lima ($ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$), dst...

Cara pengerjaannya juga sama, yaitu cari rumus beda tingkat satu, tingkat dua, dst dengan mengurangkan suku n+1 barisan atas dengan suku n barisan atas, atau dapat dikatakan selisih kedua suku pada barisan atas.

Setelah mendapat semua perumusan, tinjau saja suku pertamanya ($n=1$) untuk mempermudah perhitungan, lalu cari semua koefisien dan konstanta fungsinya.

Setelah mengetahui trik dan konsep ini, mengerjakan soal barisan menjadi mudah, bukan?

Yuk selalu cermati pengerjaan soal barisan pada matematika dasar SBMPTN!

Jawab cepat, isi tepat, itulah cermat!